在数学分析中，泰勒公式是一种非常重要的工具，它能够将一个函数在某一点附近展开为无穷级数的形式。这种展开形式不仅有助于我们理解函数的性质，还能用于近似计算和误差估计。下面列出了一些常见的泰勒公式及其应用。
1. 指数函数 \( e^x \)
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]
这个公式适用于所有实数 \( x \)，并且是唯一一个等于其自身的导数的函数。
2. 正弦函数 \( \sin(x) \)
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
此公式在任意 \( x \) 处都成立，且具有周期性。
3. 余弦函数 \( \cos(x) \)
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \]
与正弦函数类似，余弦函数也是一个无限可微函数，并且也是偶函数。
4. 自然对数函数 \( \ln(1+x) \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]
该公式仅在特定范围内有效。
5. 幂函数 \( (1+x)^n \)
对于任意实数 \( n \)，当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots \]
6. 反三角函数 \( \arctan(x) \)
当 \( |x| \leq 1 \) 时，
\[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \]
7. 双曲正弦函数 \( \sinh(x) \)
\[ \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
这是一个奇函数，类似于普通正弦函数但没有负号项。
8. 双曲余弦函数 \( \cosh(x) \)
\[ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \]
与双曲正弦函数不同，这是一个偶函数。
9. 对数函数 \( \log_a(1+x) \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ \log_a(1+x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln(a)} = \frac{x}{\ln(a)} - \frac{x^2}{2\ln(a)} + \frac{x^3}{3\ln(a)} - \cdots \]
10. 一般幂级数形式
如果 \( f(x) \) 在点 \( a \) 的邻域内有连续的导数，则可以表示为：
\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \]
这些公式广泛应用于微积分、物理学以及工程学等领域。掌握它们可以帮助解决各种实际问题，并加深对数学本质的理解。
