在概率论与数理统计中，方差是一个重要的概念，用于衡量随机变量与其期望值之间的偏离程度。对于离散型随机变量而言，其方差的计算公式具有明确的数学表达形式，而理解这一公式的推导过程，有助于我们更深入地掌握其背后的数学思想。
一、基本概念回顾
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，即：
$$
P(X = x_i) = p_i,\quad i = 1,2,\ldots,n
$$
其中满足 $ \sum_{i=1}^n p_i = 1 $。
随机变量 $ X $ 的期望（均值）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i
$$
方差（Variance）则用来衡量随机变量与其期望值之间的差异程度，通常用 $ \text{Var}(X) $ 表示。
二、方差的定义
方差的定义如下：
$$
\text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right]
$$
也就是说，方差是随机变量 $ X $ 与其期望值 $ E(X) $ 的差的平方的期望值。
三、方差公式的展开推导
根据方差的定义，我们可以将方差表示为：
$$
\text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right]
$$
接下来，我们对括号内的表达式进行展开：
$$
(X - E(X))^2 = X^2 - 2X E(X) + [E(X)]^2
$$
因此，
$$
\text{Var}(X) = E\left[X^2 - 2X E(X) + (E(X))^2\right]
$$
利用期望的线性性质，可以拆分为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - 2E(X)E(X) + (E(X))^2
$$
进一步化简得：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
这就是离散型随机变量方差的常用计算公式。
四、具体应用举例
假设一个离散型随机变量 $ X $ 的分布列为：
| $ x_i $ | 1 | 2 | 3 |
|-----------|---|---|---|
| $ p_i $ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
首先计算期望：
$$
E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
再计算 $ E(X^2) $：
$$
E(X^2) = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9
$$
代入方差公式：
$$
\text{Var}(X) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49
$$
五、总结
通过上述推导过程可以看出，离散型随机变量的方差公式来源于其定义，并通过对期望运算的展开和简化得出。掌握这一推导过程不仅有助于理解方差的意义，还能为后续学习协方差、相关系数等概念打下坚实的基础。
在实际应用中，该公式被广泛用于数据分析、风险评估、统计建模等领域，是统计学中的核心工具之一。
