【统计学 求置信区间的练习题】在统计学中，置信区间是用于估计总体参数的一种方法，它提供了一个范围，该范围以一定的概率包含真实的总体参数。常见的置信区间包括总体均值的置信区间和总体比例的置信区间。以下是几道关于求置信区间的练习题，并附上详细的解答过程与结果。
一、题目1：总体均值的置信区间（已知总体标准差）
题目描述：
某工厂生产的零件长度服从正态分布，总体标准差为2.5mm。从一批产品中随机抽取30个样本，测得平均长度为45.6mm。求总体均值的95%置信区间。
解题思路：
由于总体标准差已知，使用Z分布计算置信区间：
$$
\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中：
- $\bar{x} = 45.6$
- $\sigma = 2.5$
- $n = 30$
- $Z_{0.025} = 1.96$
计算过程：
$$
\text{误差} = 1.96 \times \frac{2.5}{\sqrt{30}} \approx 1.96 \times 0.456 \approx 0.894
$$
置信区间：
$$
45.6 \pm 0.894 \Rightarrow (44.706, 46.494)
$$
二、题目2：总体均值的置信区间（未知总体标准差）
题目描述：
某学校对学生的考试成绩进行抽样调查，样本容量为25，样本均值为78分，样本标准差为10分。求总体均值的90%置信区间。
解题思路：
由于总体标准差未知，使用t分布计算置信区间：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中：
- $\bar{x} = 78$
- $s = 10$
- $n = 25$
- 自由度 $df = 24$，查表得 $t_{0.05, 24} = 1.711$
计算过程：
$$
\text{误差} = 1.711 \times \frac{10}{\sqrt{25}} = 1.711 \times 2 = 3.422
$$
置信区间：
$$
78 \pm 3.422 \Rightarrow (74.578, 81.422)
$$
三、题目3：总体比例的置信区间
题目描述：
某市场调查公司对100名消费者进行问卷调查，发现其中有65人表示支持新产品。求总体支持率的95%置信区间。
解题思路：
使用二项分布近似法计算比例的置信区间：
$$
\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
$$
其中：
- $\hat{p} = \frac{65}{100} = 0.65$
- $n = 100$
- $Z_{0.025} = 1.96$
计算过程：
$$
\text{误差} = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.65 \times 0.35}{100}} = 1.96 \times \sqrt{0.002275} \approx 1.96 \times 0.0477 \approx 0.0935
$$
置信区间：
$$
0.65 \pm 0.0935 \Rightarrow (0.5565, 0.7435)
$$
四、题目4：总体方差的置信区间
题目描述：
某实验室对某种材料的硬度进行测试，样本容量为15，样本方差为0.49。求总体方差的90%置信区间。
解题思路：
使用卡方分布计算方差的置信区间：
$$
\left( \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}} \right)
$$
其中：
- $n = 15$
- $s^2 = 0.49$
- 自由度 $df = 14$
- $\chi^2_{0.05, 14} = 23.685$, $\chi^2_{0.95, 14} = 6.571$
计算过程：
$$
\text{下限} = \frac{14 \times 0.49}{23.685} \approx \frac{6.82}{23.685} \approx 0.288
$$
$$
\text{上限} = \frac{14 \times 0.49}{6.571} \approx \frac{6.82}{6.571} \approx 1.038
$$
置信区间：
$$
(0.288, 1.038)
$$
五、总结表格
| 题目 | 置信水平 | 参数类型 | 计算公式 | 置信区间 |
| 1 | 95% | 均值（σ已知） | $ \bar{x} \pm Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | (44.706, 46.494) |
| 2 | 90% | 均值（σ未知） | $ \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $ | (74.578, 81.422) |
| 3 | 95% | 比例 | $ \hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} $ | (0.5565, 0.7435) |
| 4 | 90% | 方差 | $ \left( \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}} \right) $ | (0.288, 1.038) |
通过以上练习题，可以加深对置信区间概念的理解，并掌握不同情境下的计算方法。建议在实际应用中结合具体数据和背景信息选择合适的置信水平和分布模型。
