【分部积分公式推导】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数乘积的情况。其核心思想是通过将一个复杂的积分转化为另一个可能更简单的积分来求解。分部积分法的理论基础来源于乘积法则的逆运算。
一、分部积分公式的推导
设 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是两个可导函数，则根据乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
对两边在区间 $[a, b]$ 上积分：
$$
\int_a^b \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] \, dx = \int_a^b u'(x)v(x) \, dx + \int_a^b u(x)v'(x) \, dx
$$
左边可以简化为：
$$
u(b)v(b) - u(a)v(a)
$$
因此得到：
$$
u(b)v(b) - u(a)v(a) = \int_a^b u'(x)v(x) \, dx + \int_a^b u(x)v'(x) \, dx
$$
移项整理得：
$$
\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx
$$
这就是分部积分的基本形式。若令 $ du = u'(x)dx $，$ dv = v'(x)dx $，则可以写成：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
二、分部积分公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 基本形式 | $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ | 分部积分的核心公式 |
| 定积分形式 | $\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du$ | 适用于定积分情况 |
| 应用场景 | 被积函数为两个函数的乘积时使用 | 如 $ x \sin x $、$ e^x \cos x $ 等 |
三、使用分部积分的注意事项
1. 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $：通常选择容易求导的函数作为 $ u $，容易积分的函数作为 $ dv $。
2. 多次应用分部积分：对于某些复杂函数（如 $ x^n e^x $），可能需要多次使用分部积分。
3. 避免循环计算：如果在分部积分过程中出现重复项，可以通过代数方法解出原积分。
四、示例解析
以计算 $\int x \cos x \, dx$ 为例：
- 设 $ u = x $，则 $ du = dx $
- 设 $ dv = \cos x \, dx $，则 $ v = \sin x $
代入公式：
$$
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C
$$
五、总结
分部积分法是解决复杂积分问题的重要工具，其本质是通过对乘积函数的导数进行积分，从而实现积分的转换。掌握好 $ u $ 和 $ dv $ 的选择原则，并灵活运用公式，能够有效提高积分计算的效率和准确性。
