【sin75度的值】在三角函数中，sin75°是一个常见的角度，虽然它不是标准角（如30°、45°、60°等），但可以通过三角恒等式进行计算。了解sin75°的值不仅有助于解决数学问题，还能加深对三角函数公式的理解。
一、计算方法
sin75°可以拆分为两个已知角度的和：
75° = 45° + 30°
根据正弦的和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
代入A=45°，B=30°，可得：
$$
\sin(75°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°)
$$
已知：
- $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(30°) = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin(75°) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
二、数值近似值
为了更直观地理解sin75°的大小，我们可以将其转换为小数形式：
$$
\sin(75°) ≈ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ≈ \frac{2.449 + 1.414}{4} ≈ \frac{3.863}{4} ≈ 0.9659
$$
三、总结与表格
| 角度 | 正弦值（精确表达） | 正弦值（近似值） |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | 0.9659 |
通过以上计算可以看出，sin75°的精确值是一个包含根号的表达式，而其近似值约为0.9659。这个结果在实际应用中非常有用，尤其是在几何、物理以及工程领域中涉及角度计算的问题中。
