【105的三角函数值】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。对于角度105°，它并不是一个常见的特殊角，但它可以通过已知的特殊角（如45°、60°）进行组合计算得出其三角函数值。本文将对105°的正弦、余弦和正切值进行总结，并以表格形式展示。
一、105°的三角函数值推导
105°可以表示为两个常见角度之和，即：
$$
105^\circ = 60^\circ + 45^\circ
$$
利用和角公式，我们可以分别计算出105°的正弦、余弦和正切值。
1. 正弦值（sin 105°）
根据和角公式：
$$
\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
$$
代入数值：
$$
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
所以：
$$
\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 余弦值（cos 105°）
同样使用和角公式：
$$
\cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ
$$
代入数值：
$$
= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}
= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
所以：
$$
\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
3. 正切值（tan 105°）
使用和角公式：
$$
\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}
$$
代入数值：
$$
= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}
= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
为了化简，可以对分母有理化：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
= \frac{( \sqrt{3} + 1 )^2}{1 - 3}
= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{-2}
= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}
= -2 - \sqrt{3}
$$
所以：
$$
\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}
$$
二、105°的三角函数值表
| 角度 | 正弦值 (sin) | 余弦值 (cos) | 正切值 (tan) |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ | $-2 - \sqrt{3}$ |
三、小结
通过将105°分解为60°与45°的和，我们能够准确地求出其三角函数值。这些结果不仅适用于理论计算，也常用于实际问题中的角度分析和数值估算。掌握这类非标准角度的三角函数值，有助于提升对三角函数性质的理解和应用能力。
