【e负x次方的反函数是什么】在数学中，反函数是指将原函数的输入与输出互换的函数。对于函数 $ f(x) = e^{-x} $，我们可以通过求解其反函数来找到满足 $ x = e^{-y} $ 的表达式，从而得到 $ y $ 关于 $ x $ 的表达式。
一、总结
函数 $ f(x) = e^{-x} $ 是一个常见的指数函数，其图像在第一象限和第四象限之间单调递减。为了找到它的反函数，我们需要通过代数变换将其变量对调，并解出新的变量表达式。最终得出的反函数为 $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $，定义域为 $ x > 0 $，值域为所有实数。
二、表格展示
| 原函数 | 反函数 | 定义域 | 值域 | 图像特征 |
| $ f(x) = e^{-x} $ | $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y > 0 $ | 单调递减，过点 (0,1) |
| 定义域为 $ x > 0 $，值域为全体实数 |
三、推导过程（简要）
1. 设原函数为 $ y = e^{-x} $
2. 交换变量位置：$ x = e^{-y} $
3. 对两边取自然对数：$ \ln(x) = -y $
4. 解得：$ y = -\ln(x) $
因此，反函数为 $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $，其中 $ x > 0 $。
四、注意事项
- 原函数 $ e^{-x} $ 的定义域是全体实数，但其值域为 $ (0, +\infty) $。
- 反函数的定义域是原函数的值域，即 $ x > 0 $。
- 反函数的值域是原函数的定义域，即所有实数。
如需进一步探讨该函数的性质或应用，可结合微积分或实际问题进行分析。
