【tan75度等于多少根号】在三角函数中，tan75° 是一个常见的角度值，常用于数学计算和几何问题中。由于75°不是标准的特殊角（如30°、45°、60°），因此需要通过一些公式或方法来求解其值。本文将对 tan75° 的具体数值进行总结，并以表格形式展示其与根号表达的关系。
一、tan75° 的计算方法
tan75° 可以通过 两角和公式 来计算：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ)
$$
根据正切的加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
代入 A = 45°, B = 30°，得：
$$
\tan(75^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $\tan 45^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入后得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}
$$
为了简化这个表达式，可以将分子和分母同时乘以 $\sqrt{3}$，得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
再有理化分母：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}
$$
展开平方：
$$
(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
$$
所以：
$$
\tan 75^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、tan75° 的根号表达形式
经过上述推导，我们可以得出：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
这是 tan75° 的精确表达式，也是最简形式。
三、总结与表格展示
| 角度 | 正切值（tan） | 根号表达式 |
| 75° | 约 3.732 | $2 + \sqrt{3}$ |
四、结语
tan75° 的值为 $2 + \sqrt{3}$，这是一个常见的数学表达式，在三角函数和几何问题中具有广泛的应用。了解其根号形式有助于更深入地理解三角函数的性质和运算规律。
