【xsinx的定积分】在数学中，计算函数的定积分是常见的问题之一。对于函数 $ f(x) = x \sin x $，其定积分可以通过分部积分法求解。下面将对 $ x \sin x $ 的定积分进行总结，并以表格形式展示关键步骤与结果。
一、定积分公式
对于函数 $ f(x) = x \sin x $，其不定积分可以表示为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
若要计算定积分，则需确定积分区间，例如从 $ a $ 到 $ b $，则有：
$$
\int_a^b x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_a^b
$$
二、分部积分法推导过程
我们使用分部积分法（Integration by Parts）来求解 $ \int x \sin x \, dx $，公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
令：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
三、关键步骤总结表
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定积分函数：$ f(x) = x \sin x $ |
| 2 | 使用分部积分法，设 $ u = x $，$ dv = \sin x \, dx $ |
| 3 | 求得 $ du = dx $，$ v = -\cos x $ |
| 4 | 代入分部积分公式：$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx $ |
| 5 | 计算剩余积分：$ \int \cos x \, dx = \sin x $ |
| 6 | 最终结果：$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C $ |
四、定积分计算示例
假设计算 $ \int_0^{\pi} x \sin x \, dx $，代入公式：
$$
\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^{\pi}
= \left( -\pi \cos \pi + \sin \pi \right) - \left( -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 \right)
= \left( -\pi (-1) + 0 \right) - (0 + 0) = \pi
$$
五、结论
通过分部积分法，我们得出函数 $ x \sin x $ 的不定积分为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
而定积分在特定区间上的值可以通过代入上下限计算得出。该方法在微积分中具有广泛的应用，尤其适用于多项式乘以三角函数的积分问题。
如需进一步计算其他区间的定积分，只需代入对应的上下限即可。
