【大一高数期末考试重点公式】高等数学（简称“高数”）是大学阶段一门非常重要的基础课程，尤其对于理工科学生来说，它不仅是后续专业课程的基础，也是各类考试和竞赛中常考的内容。为了帮助同学们更好地复习，本文将总结大一高数期末考试中常见的重点公式，以文字加表格的形式进行整理，便于记忆与查阅。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 极限的定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 表示当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为 $L$ |
| 无穷小量比较 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用的等价无穷小关系之一 |
| 两个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 用于计算复杂极限问题 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 函数在某点的导数定义 |
| 基本导数公式 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(e^x)' = e^x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ | 常见初等函数的导数 |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | 复合函数求导的基本方法 |
| 高阶导数 | $y'' = (y')'$ | 二阶导数表示函数的变化率的变化率 |
三、微分中值定理与导数应用
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 罗尔定理 | 若 $f(a) = f(b)$，且 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$ | 条件较严格，适用于对称区间 |
| 拉格朗日中值定理 | 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ | 更通用的中值定理 |
| 洛必达法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$（若右边极限存在） | 用于处理不定型极限 |
四、积分与不定积分
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 不定积分基本公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 常见函数的原函数 |
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 用于积分形式复杂的函数 | ||
| 积分换元法 | $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$（令 $u = g(x)$） | 简化积分过程 |
五、定积分与应用
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 定积分定义 | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^) \Delta x$ | 定积分的几何意义 |
| 牛顿—莱布尼茨公式 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数 | 计算定积分的核心公式 |
| 定积分的应用 | 面积：$\int_a^b f(x) dx$ 体积：旋转体体积公式 平均值：$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ | 常见的物理和几何应用 |
六、常考题型与注意事项
1. 极限计算：注意使用等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开等方法。
2. 导数与微分：掌握基本求导规则，尤其是复合函数和隐函数求导。
3. 中值定理：理解其条件与结论，熟悉常见题型。
4. 积分计算：熟练使用换元法、分部积分法、三角代换等技巧。
5. 定积分应用：注重几何意义的理解与实际问题的建模能力。
总结
大一高数虽然内容广泛，但核心知识点集中在函数、极限、导数、积分等方面。掌握这些重点公式的含义与应用场景，是应对期末考试的关键。建议同学们在复习过程中结合例题练习，逐步提升解题能力。希望以上内容能为大家提供有效的复习参考。
