【可导必可微】在数学分析中，函数的“可导”与“可微”是两个密切相关但又有所区别的概念。尤其在多元函数中，这两个概念的区别更为明显。然而，在一元函数中，“可导”与“可微”实际上是等价的。因此，我们常说“可导必可微”，这是对一元函数的一种重要结论。
一、基本概念总结
| 概念 | 定义 | 说明 |
| 可导 | 若函数 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 处的极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 存在，则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导。 | 一元函数中，可导即存在导数。 |
| 可微 | 若函数 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 处可以表示为 $ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + o(h) $，其中 $ o(h) $ 是比 $ h $ 高阶的无穷小，则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可微。 | 一元函数中，可微即存在线性近似。 |
二、可导与可微的关系
在一元函数中，可导与可微是等价的，也就是说：
- 若函数在某点可导，则它在该点一定可微；
- 若函数在某点可微，则它在该点也一定可导。
因此，我们可以说：“可导必可微”。
三、为什么说“可导必可微”？
在数学上，可导意味着函数在该点具有局部线性逼近，而这个线性逼近正是可微的本质定义。具体来说：
- 如果 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导，则其导数 $ f'(x_0) $ 就是该点的微分系数；
- 因此，$ f(x) $ 在该点可以写成：
$$
f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + o(h)
$$
这正是可微的定义。
四、注意：在多元函数中不成立
虽然在一元函数中“可导必可微”，但在多元函数中情况不同：
- 偏导数存在不一定可微；
- 可微一定可导（偏导数存在）；
- 所以在多元函数中，“可导”和“可微”不再等价。
因此，“可导必可微”这一结论仅适用于一元函数。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 适用范围 | 一元函数 |
| 可导与可微关系 | 等价，可导必可微 |
| 数学表达 | 若 $ f $ 在 $ x_0 $ 可导，则 $ f $ 在 $ x_0 $ 可微 |
| 注意事项 | 在多元函数中不成立，需区分偏导与全微分 |
通过以上内容可以看出，“可导必可微”是数学分析中一个重要的结论，尤其在处理一元函数时具有重要意义。理解这一概念有助于更深入地掌握函数的局部性质和变化规律。
