【数学期望常用公式】在概率论与统计学中，数学期望（Expected Value）是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中的平均结果。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于风险评估、金融分析、决策优化等领域。
为了方便学习和应用，以下总结了常见的数学期望计算公式，并以表格形式进行展示，帮助读者快速理解和记忆。
一、离散型随机变量的数学期望
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X=x_1), P(X=x_2), \dots, P(X=x_n) $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
二、连续型随机变量的数学期望
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、线性性质
数学期望具有线性性质，即对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，以及随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有：
- $ E(aX + b) = aE(X) + b $
- $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $
四、常见分布的数学期望
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 两点分布 | $ P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
五、条件数学期望
设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则在给定 $ Y=y $ 的条件下，$ X $ 的条件数学期望为：
$$
E(X
$$
$$
E(X
$$
六、期望的平方与方差的关系
数学期望与方差之间存在如下关系：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
总结
数学期望是概率论中衡量随机变量“中心位置”的重要指标，适用于各种类型的随机变量。掌握其基本公式及性质，有助于更好地理解随机现象并进行数据分析与建模。通过上述表格，可以快速查阅不同分布下的期望值，提高学习效率和应用能力。
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