【arctanx的导数是什么等于什么】在微积分中，反三角函数的导数是常见的求导问题之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个重要的知识点，常用于求解与三角函数相关的复杂问题。本文将总结arctanx的导数并以表格形式清晰展示其结果。
一、arctanx的导数
设 $ y = \arctan x $，则根据反函数的求导法则，可以推导出其导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这个结果可以通过以下方式理解：
- 当 $ y = \arctan x $ 时，有 $ x = \tan y $；
- 对两边同时对 x 求导，得到 $ 1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} $；
- 因此，$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \cos^2 y $；
- 利用三角恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2 $，最终得到导数为 $ \frac{1}{1 + x^2} $。
二、总结与表格展示
| 函数名称 | 表达式 | 导数表达式 |
| 反正切函数 | $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、应用与注意事项
- 定义域：$ \arctan x $ 的定义域为全体实数 $ (-\infty, +\infty) $，其导数在该区间内始终有效。
- 单调性：由于导数始终为正，说明 $ \arctan x $ 在整个定义域上是严格递增的。
- 极限行为：当 $ x \to \pm \infty $ 时，$ \arctan x \to \pm \frac{\pi}{2} $，而导数趋近于 0。
通过上述分析和表格总结，我们可以清楚地看到 arctanx 的导数是 $ \frac{1}{1 + x^2} $，这一结论在微积分计算中具有广泛应用价值。
