【X乘以sinx的不定积分】在微积分的学习中，求解不定积分是一个重要的环节。其中，函数 $ x \cdot \sin x $ 的不定积分是常见的题目之一，其解法涉及“分部积分法”（Integration by Parts）。本文将对这一积分进行详细推导，并以总结形式展示结果。
一、不定积分的定义
不定积分是指求一个函数的原函数，即找到一个函数 $ F(x) $，使得 $ F'(x) = f(x) $。对于函数 $ f(x) = x \cdot \sin x $，我们要求的是：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx
$$
二、求解过程（分部积分法）
分部积分法的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们选择：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
再计算：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x
$$
因此，
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
三、结果总结
| 表达式 | 不定积分 |
| $ \int x \cdot \sin x \, dx $ | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
四、结论
通过使用分部积分法，我们成功地求得了 $ x \cdot \sin x $ 的不定积分。该结果在物理、工程和数学建模中具有广泛应用，特别是在处理周期性函数与线性项结合的问题时。
如需进一步验证，可以对结果进行求导，确认是否还原为原函数。此方法也适用于类似结构的积分问题，例如 $ x \cdot \cos x $ 或 $ x \cdot e^x $ 等。
