【arctanx的积分等于什么】在数学中，求函数的积分是常见的问题之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其积分虽然不直接显而易见，但通过适当的积分技巧可以得到结果。下面我们将对 $ \arctan x $ 的积分进行总结，并以表格形式清晰展示。

一、积分公式

函数 $ \arctan x $ 的不定积分可以通过分部积分法来求解。设：

$$

u = \arctan x, \quad dv = dx

$$

则有：

$$

du = \frac{1}{1 + x^2} dx, \quad v = x

$$

根据分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，可得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算后一个积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dt $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

将结果代回原式，得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结与表格

下面是关于 $ \arctan x $ 积分的总结和关键信息：

三、小结

$ \arctan x $ 的积分虽然不能直接从基本积分表中找到，但通过分部积分法可以推导出其表达式。最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

这个结果在微积分、工程学以及物理学中都有广泛应用，尤其在处理涉及角度和比例的问题时非常有用。