【lim极限函数公式总结】在数学中，极限（Limit）是微积分和分析学中的一个核心概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。掌握常见的极限公式和计算方法，对于学习高等数学、微积分以及相关应用领域具有重要意义。以下是对常见极限函数公式的系统性总结，便于快速查阅与记忆。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其值等于该点 |
| 3 | $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)$ | 极限的加法法则 |
| 4 | $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ | 极限的乘法法则 |
| 5 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（当$\lim g(x) \neq 0$） | 极限的除法法则 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的重要极限 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 9 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 自然对数底e的定义 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0, a \neq 1$） | 指数函数的一般形式 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 类型 | 表达式 | 说明 |
| 无穷小 | $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ | 函数趋近于零 |
| 无穷大 | $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ | 函数无限增大 |
| 无穷小与无穷大的关系 | $\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0$（若$f(x) \to \infty$） | 无穷大的倒数为无穷小 |
三、常见函数的极限
| 函数类型 | 极限表达式 | 结果 |
| 多项式 | $\lim_{x \to a} P(x)$ | $P(a)$ |
| 有理函数 | $\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)}$ | $\frac{P(a)}{Q(a)}$（若$Q(a) \neq 0$） |
| 根号函数 | $\lim_{x \to a} \sqrt{f(x)}$ | $\sqrt{\lim f(x)}$（若$f(x) \geq 0$） |
| 指数函数 | $\lim_{x \to a} a^{f(x)}$ | $a^{\lim f(x)}$ |
| 对数函数 | $\lim_{x \to a} \log_a f(x)$ | $\log_a (\lim f(x))$（若$f(x) > 0$） |
四、极限的运算规则
| 运算 | 表达式 | 说明 |
| 加法 | $\lim(f(x) + g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)$ | 适用于两极限存在的情况 |
| 乘法 | $\lim(f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ | 同上 |
| 除法 | $\lim\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ | 仅当分母不为零时成立 |
| 复合函数 | $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$ | 若$f$连续且$\lim g(x)$存在 |
五、特殊极限情况
| 极限类型 | 表达式 | 说明 |
| 未定式 | $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ | 需要通过洛必达法则或其他方法求解 |
| 无穷减无穷 | $\infty - \infty$ | 不确定，需进一步化简 |
| 0·∞ | $0 \cdot \infty$ | 不确定，需变形处理 |
六、常用极限技巧
- 代入法：直接代入变量值，适用于连续函数；
- 因式分解：化简后消除分母中的零因子；
- 有理化：针对根号表达式进行有理化处理；
- 洛必达法则：用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式；
- 泰勒展开：将复杂函数展开为多项式，便于求极限；
- 等价替换：如$\sin x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$等。
总结
极限是理解函数行为和分析数学问题的基础工具。掌握上述公式和技巧，能够帮助我们在面对复杂函数时迅速找到突破口。在实际应用中，应结合具体题目的结构灵活运用这些方法，并注意极限存在的条件和未定式的处理方式。
希望这份总结能为你提供清晰的思路和实用的参考！
